全微分用于近似值计算和误差估计
发布于 2023/05/28 更新于 2023/05/28
作者 趣宽科技
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在微积分中，函数在某点的全微分(total derivative)是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似,与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性性近似，而非单个自变量。可用于复杂函数近似值的计算和误差估计。
$$
\Delta u = f(x+h, y+k) - f(x,y) = hf_x(x, y) + kf_y(x, y) + \varepsilon\sqrt{h^2 + k^2}
$$
\(\Delta u\)表示可微函数\(u=f(x,y)\)的增量的线性部分，我们称这个线性部分的函数为微分，有时称为全微分。并写成
$$
du = df(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}h + \frac{\partial f}{\partial y}k
$$
$$
=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y
$$
\(du\)是函数的增量,其误差是\(\sqrt{h^2 + k^2}\)的\(\varepsilon\)倍, \(\varepsilon\)可任意小。因\(dx = \Delta x, dy = \Delta y\)，所以通常写成：
$$
df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy
$$
除非函数在上面定义的是可微的（偏导数不仅存在，而且是连续的），否则函数\(f(x,y)\)的全微分作为\(\Delta f\)的线性近似是没有意义的。
$$
d^2f = d(df)=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}h + \frac{\partial f}{\partial y} k\Big)h + \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}h + \frac{\partial f}{\partial y}k\Big)k
$$
$$
=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}h^2+2\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}hk +\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}k^2
$$
对于微分的计算
$$
d(fg) = fdg + gdf
$$
仍然成立，这可由乘积的微分法则立即得出。
求下列函数的近似值:
$$
f(x,y)=x^y=1.04^{1.98}
$$
我们在\((x,y)\)附近找一个新的点：\(x+h=1， y+k=2\)， 那么\(h=-0.04, k=0.02\)
$$
\Delta u = f(x+h, y+k) - f(x, y)
$$
$$
= hf_x(x,y)+kf_y(x,y)
$$
由于\(f_x = yx^{y-1}， f_y=x^y\ln x\), 所以
$$
\Delta u = f(1,2) - f(x,y) = hf_x(x,y) + kf_y(x,y)
$$
$$
= (-0.04) \cdot 2 \cdot 1 ^{2-1} + 0.02 \cdot 1^2 \ln 1
$$
$$
f(x+h, y+k) - f(x,y) =-0.08 \implies f(x,y) = f(x+h, y+k) + 0.08
$$
所以
$$
f(x,y)=f(1,2) + 0.08 \approx 1.08
$$
求\(\log[(1.02)^{1/4} + (0.96)^{1/6} - 1]\)近似值
将上述式子表示成函数\(f(x,y)\)：
$$
f(x,y) = \log(x^{1/4}+y^{1/6}-1)=\log[(1.02)^{1/4} + (0.96)^{1/6} - 1]
$$
分别求偏导数\(f_x, f_y\)，令\(u=x^{1/4}+y^{1/6}-1\)，那么：
$$
f_x = \frac{d}{du}\log u\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{4}x^{-3/4}=\frac{1}{4x^{3/4}(x^{1/4}+y^{1/6}-1)}
$$
$$
f_y=\frac{d}{du}\log u\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{6}x^{-5/6}=\frac{1}{6x^{5/6}(x^{1/4}+y^{1/6}-1)}
$$
令\(x+h=1, x+k=1\)，那么\(h=-0.02, k = 0.04\)，根据
$$
f(x+h, y+k) - f(x,y) = df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}h + \frac{\partial f}{\partial y}k
$$
$$
f(1, 1) - f(x,y) = f_x \cdot (-0.02) + f_y \cdot (0.04)
$$
用\(x+h,和 y+k\)代入\(f_x, f_y\)得到：
$$
f(1, 1) - f(x,y) = \frac{1}{4} \cdot (-0.02) + \frac{1}{6} \cdot (0.04)
$$
所以
$$
f(x,y) \approx f(1,1) - \frac{1}{4} \cdot (-0.02) - \frac{1}{6} \cdot (0.04) \approx -\frac{1}{600}
$$
已知直角三角形的底长\(x\)和高\(y\)分别包含误差\(h, k\)，面积的可能误差是什么？
根据三角形面积公式\(f(x,y) = \frac{xy}{2}\)，那么误差\(du\)
$$
du=df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}h + \frac{\partial f}{\partial y}k
$$
因为\(f_x=\frac{y}{2}, f_y=\frac{x}{2}\)，所以可能的误差\(du\)：
$$
du=\frac{y|h| + x|k|}{2}
$$
趣宽科技